The Asymptotic Behavior of the Term Structure of Interest Rates

Langfristige Zinssätze werden für die Bewertung und Absicherung von festverzinslichen Finanzprodukten und Derivaten mit langer Laufzeit benötigt, sowie bei der Preisberechnung von Zahlungen, die in weiter Zukunft liegen. Solche Zahlungen kann es beispielsweise bei langfristig angelegten Infrastrukturprojekten geben oder bei Ausgleichsregelungen im Falle eines Unfalls oder einer Scheidung. Gerade im Zuge der weltweiten Finanzkrise von 2008 wuchs das Interesse von Anlegern an Investments mit langem Zeithorizont und damit auch die Notwendigkeit Zinskurven weiter in die Zukunft zu modellieren und das Verhalten am langen Ende der Kurven möglichst genau zu bestimmen. Die vorliegende Arbeit widmet sich der Untersuchung des asymptotischen Verhaltens von Zinskurven. Zu diesem Zwecke werden drei verschiedene langfristige Zinssätze analysiert: der langfristige stetige Zinssatz, der langfristige diskrete Zinssatz und der langfristige Swapzinssatz. Diese langfristigen Zinsen werden definiert als Zinssätze deren Laufzeit gegen unendlich geht im Rahmen eines Zinsmarktes, der auf Erkenntnissen basiert, die aus der Finanzkrise gewonnen werden konnten. Alle modellunabhängigen relevanten Eigenschaften dieser Zinsen werden erläutert und die Zusammenhänge zwischen ihnen werden genauestens hinsichtlich ihrer Wechselbeziehungen untersucht. Darüber hinaus ist ein wichtiger Teil dieser Dissertation der Beschreibung des asymptotischen Verhaltens von Zinskurven in speziellen Zinsmodellen gewidmet. Diese Modelle umfassen das Zinsstrukturmodell von Heath, Jarrow und Morton, genannt HJM Framework, das Flesaker-Hughston Modell sowie das linear-rationale Modell. Das HJM Framework wird aufgrund der Möglichkeit der direkten Modellierung der gesamten Zinsstrukturkurve und aller dazugehörigen Terminkurse für die Analyse verwendet. Die stochastische Komponente wird erst mittels der Brownschen Bewegung beschrieben, dann durch einen Lévy Prozess und zuletzt mit Hilfe eines affinen Prozesses auf dem Zustandsraum von positiv semidefiniten und symmetrischen Matrizen. Der Gebrauch dieser stochastischen Prozesse kann als schrittweise Weiterentwicklung des HJM Frameworks verstanden werden, da jeweils mehr, die Zinsstruktur beeinflussende, Faktoren in die Modellierung mit einfließen können. Die anderen beiden vorgestellten Modelle, das Flesaker-Hughston Modell und das linear-rationale Modell, finden, wegen einiger attraktiver Eigenschaften, Anwendung in der Analyse des asymptotischen Zinskurvenverhaltens, wie zum Beispiel einfache Formeln für alle Zinssätze, die keine negativen Werte annehmen können.