Uniformisierung, 1

1. Die Theorie der Uniformisierung befaßt sich mit der Frage, wie eine mehrdeutige Relation (x, y) zwischen den Objekten x und y von zwei Mengen R" bzw. R eindeutig dargestellt (uniformisiert) werden y kann. Unter dem Uniformisierungsproblem im eigentlichen Sinn, so wie es auch in der vorliegenden Arbeit zur Darstellung kommen wird, versteht man die enger und präzise abgegrenzte, freilich immer noch sehr all gemeine Aufgabe, eine mehrdeutige analytische Relation (x, y) zwischen den Punkten x und y von zwei komplexen Zahlenebenen oder allge meiner von zwei "RIEMANNschen Flächen" R" und R zu uniformisieren, y indem für die gegebene Relation (x, y) eine "Parameterdarstellung" x=x(t), y=y(t) (1 ) gesucht wird, durch welche die Gesamtheit der durch die Relation (x, y) gebundenen Punktepaare x, y den Punkten t einer dritten RIEMANNschen Fläche R eindeutig und analytisch zugeordnet werden. Besonderes t Interesse bietet hierbei der Fall, wo R "schlichtartig" ist, d. h. wo diese t Fläche als Teilgebiet der Ebene der komplexen Zahlen t dargestellt werden kann. Sind dazu auch die Flächen R" und R die komplexe x· y und y-Ebene, so ist die Relation (x, y) ein sog. analytisches Gebilde und es gilt also, dieses Gebilde durch zwei eindeutige analytische Funk tionen x = x (t), y = y (t) nicht nur im kleinen (lokal), sondern im großen (global) zu uniformisieren. 2.